Image: T. P. G. Amarajeewa, “Don’t Measure Me”

ගණිතමය සිතීම බොහෝ විට අප හඳුනාගන්නේ වියුක්ත සංකල්ප රාශියක් සමග කරන තර්කානුකූල ගනුදෙනුවක් ලෙසටය. නමුත් අප විශේෂයෙන් ගණිතය පිළිබඳව න්‍යායාත්මක ගනුදෙනුවක නොසිටින අවස්ථාවකත්, ගණිතය ගැන නොගැඹුරු සංවාද වල යෙදෙනවිටත් අප සිටින්නේ මෙම උක්ත තර්කානුකූල ගනුදෙනුව තුලමද? එවැනි න්‍යායාත්මක ප්‍රවේශයන්ගෙන් වෙන්ව බලන අවස්ථා සියල්ලකම පාහේ ගණිතය ලෙස අපට සම්මුඛ වන්නේ ගණිතය තුලින්ම අප ගොඩනගාගත් උපාඛ්‍යාන (anecdotes) රාශියක් ලෙසය. 

සැබෑ ලෙසම අප ගණිතය දෙස මෙම න්‍යායාත්මක ලෙස නොබලන අවස්තාවන් තිබේදැයි කෙනෙක්ට ප්‍රශ්නයක් ඇතිවීම ස්වාභාවිකය. මන්ද ගණිතය තුල කෙරෙන සියලුම දෑ අපට සිතාගත හැකි සෑම අවස්ථාවම අපට සම්මුඛ වන්නේ න්‍යායාත්මකව ගැඹුරු නිර්වචන, ප්‍රමේයයන්, උපප්‍රමේයයන් හරහාය. නමුත් අප වැඩිදුරටත් ගණිතමය සිතීම ගැන සිතා බැලීමේදී  අපට නිරාවරණය වන කාරණයක් වන්නේ ගණිතය තුළින්ම අප වෙත යෝජනා කරන ගැඹුරු ලෙස න්‍යායාත්මක නොවන තලයක් පවතින බවය. බොහෝ විට මෙම තලය අපට නිරාවරණය වන්නේ සැබවින්ම ගණිතමය කතිකාව තුලින් අපට යෝජනා කරන න්‍යායන්, භාවිතයේදී එතරම් නම්‍යශීලි නොවන නිසාය. උදාහරණයක් ලෙස යම් ගණිතමය සිද්ධාන්තයක් සූත්‍රගත කළ පමණින් එය වෙනත් ස්ථානයක පහසුවෙන් යෙදිය හැකි මාදිලියක් වන්නේ නැත. එවැනි අවස්ථාවල අප හට පසුවෙන් සපුරාලිය හැකි, පිරික්සිය හැකි උපකල්පන යටතේ නව මාදිලියකින් උක්ත ගණිතමය සිද්ධාන්තය නිරාවරණය කරගත යුතුය. එවැනි න්‍යායන් බොහෝවිට ගණිතමය කතිකාව තුල working definitions, working theorems ලෙස හඳුන්වයි. සොපාහාසාත්මක ලෙස ඒවායෙන් “වැඩකරගත හැකි” (working) ලෙස යෙදෙන හැටිද අපූරුය. මීට අමතරව න්‍යායාත්මක සංකල්ප පැහැදිලි කිරීම සඳහා ගොඩගනාගත් උපදේශාත්මක සිතුවිලි පරීක්ෂණද මේ අතර වේ. ඉන් ප්‍රකටම උදාහරණ කිහිපයක් ලෙස Hilbert’s hotel, Gabriel’s horn, Infinite monkey theorem දැක්විය හැකිය. මෙවැනි වැඩකරගත හැකි ගණිතමය සිද්ධාන්ත මුල් සිද්ධාන්තවලම දිගුවන් (extensions) ලෙස ව්‍යුත්ඵන්න කරගත් දෑ මිස සිද්ධාන්ත විකෘති කිරීමක් නොවන බවද මතක තබාගත යුතුය.

ඉහත දැක්වූ අවස්තාවටත් වඩා බොහෝම සරල අවස්ථාවක් ලෙස අපට ගත හැකි වන්නේ උසස් පෙළ කලනයේ සීමා ආශ්‍රිත ගැටළුය. මෙහිදී බොහෝ සිසුන් සීමා ගැටළු වල යෙදෙන වීජීය සුළු කිරීම් වේගයෙන් සිදුකර අවසන් පිළිතුර ලබාගැනීමෙහි දක්ෂය. නමුත් මෙම ලැබුන පිළිතුර සැබවින්ම සීමාවේ නිර්වචනයට අනුකුලද යන්න වෙනම පිරික්සා බැලිය යුතුය. සමහර අය මෙම වීජීය සුළුකිරීම් සත්‍ය නිර්වචනයම යැයි සළකා තාර්කික වශයෙන් අසංගත න්‍යායන් ඉදිරිපත් කරන අවස්ථාද දැක ඇත. තව සමහර අය ගණිතයේ නෛසර්ගික න්‍යායාත්මක අසංගතතා ගෙනහැර දැක්වීමද මේ හරහා කිරීමට උත්සහ කරනු ලබයි. නමුත් අප තරයේ කියා සිටින්නේ ගණිතමය “බොළඳ කතාවක” [හෛ.] ඇති මෙවැනි ගණිතමය උපක්‍රම (tricks) වල ඇති දෝෂ ගෙනහැර දක්වමින් ගණිතයේ ඇති අසංගතතා දැක්වීම විහිළුසහගත බවයි. තවද Chaos theory වැනි ප්‍රසිද්ධ න්‍යායක් පිළිබඳව අදහස් දක්වන අය එය බොහෝවිට butterfly effect (සමනළ තටු ආචරණය) සමග ගැටගහනවා මිස විෂය කරුණු ගැන කතා කරන්නට පෙළඹෙන්නේ නැත. එලෙසම එමගින් ඉතා බැරෑරුම් නිගමට වලට එළෙඹෙමින් chaos theory විවිධ සංකල්ප සමග ගැටගසන්නටද පෙළඹේ. උදාහරණය ලෙස සසම්භාවී සිද්ධි, සම්භාවිතාව, ස්වච්ඡන්දතාව දැක්විය හැක. මෙම අදහස් කල්පනා කර බැලීමේදී අපට පෙනීයන්නේ බොහෝ දෙනා න්‍යායාත්මක කාරණා පසෙක ලා මෙවැනි උපාඛ්‍යානමය කාරණා සමග ගනුදෙනු කරන බවයි. මෙම ඡේදයේ දැක්වූ සමහර අදහස් නිසා සිද්ධාන්ත සැබැවින්ම විකෘතිකර අර්ථදක්වා ගැනීමේ අවදානමක් ද ඇත. මෙලෙස අප හට ගණිතමය සිතීමක බොහෝ දුර්වල මාදිලියක් විවෘත වේ.

ඉහත ඡේදයේ දැක්වූ පරිදි ගණිතමය නොවන වෙනත් න්‍යායාත්මක දෑ සම්බන්ධව ද සාමාන්‍ය සමාජයේ පවතින මතයන් එතරම් වෙනස් නොවේ. භෞතික විද්‍යාව, රසායන විද්‍යාව ආදියේ න්‍යායාත්මක කරුණු බොහෝ විට කරුණුමය වශයෙන් ස්ථාපිත සිද්ධාන්ත වලට පටහැනිව විකෘති කිරීම් වලට භාජනය වීම අප දැක ඇත. සන්නිවේදනයේ දියුණුව සමගම මෙවැනි න්‍යායාත්මක කරුණු වගකීම් විරහිතව ප්‍රචාරණය වීමෙන් සහ යම් පාර්ශව වලට මෙවැනි කරුණු පහසුවෙන් සමාජගත කිරීමට ඇති අවශ්‍යතාවය නිසා මෙලෙස සිදුවීමට ඉඩ තිබේ. එබැවින් එලෙස සන්නිවේදනය කරන පාර්ශව බොහෝ වගකීමෙන් කටයුතු කළයුතුය. 

ගණිතමය සිතීම් නිර්මාණාත්මක සහ නිශේධාත්මක යන දෙආකාරයටම සිද්ධවන ආකාරය පිළිවෙලින් දෙවැනි සහ තුන්වැනි ඡේදයන්හි සාකච්ඡා කෙරිණ. තවත් අයුරකින් කියන්නේ නම් ගණිතමය භාෂාව මගින් ප්‍රකාශ කරන යම් නිර්වචන, ප්‍රමේයයන් ආදිය පහසුවෙන් භාවිතයට ගතහැකි ලෙස උපකාරක නිර්වචන, උපකාරක ප්‍රමේයයන් (working definitions, working theorems) ලෙස පැහැදිලි කිරීම “නිර්මාණාත්මක අර්ථකථනය” ලෙසත්, යම් යම් උදාහරණ සහ කෙටික්‍රම ඔස්සේ ගොඩනගාගත් ආදිය මගින් නිරවද්‍යතාව අඩු හෝ සම්පූර්ණයෙන්ම වැරදි ලෙස සිද්ධාන්ත අවභාවිතය “නිශේධාත්මක සරලකරණය” ලෙසත් අපට දැක්විය හැකිය. 

ඉහත සඳහන් නිර්මාණාත්මක අර්ථකථනයටත්, නිශේධාත්මක සරලකරණයටත් යන දෙකම යටතේ ලා සැළකිය හැකි ගණිතමය සිතීමට ඉවහල් වන ඉතා වැදගත් කොටසක් ලෙස ගණිතමය රූප සටහන්, ජ්‍යාමිතික නිරමාණ, ප්‍රස්තාර, ආකෘති, පරිගණක ආශ්‍රිත නිර්මාණ, simulations ආදිය සැළකිය හැක. අපට ගණිතමය ප්‍රකාශන, සමීකරණ තේරුම් ගැනීමේදී මේවා ඉතා විශාල මෙහෙයක් ඉටුකරයි. යමෙකු වෘත්තයක් කියූ පමණින් සිහියට නැගෙන්නේ වියුක්ත නිර්වචනයකට වඩා රූපයකි. අවකල සමීකරණ ආදියෙහි විසඳුම් විශ්ලේෂණයේදී ද පරිගණක ආශ්‍රිත ප්‍රස්තාර, simulations මෙලෙසම වැදගත් වේ. එලෙසම ගණිතය ඉගැන්වීමේදී ද රූපසටහන්, ආකෘති භාවිතය ඉතා ප්‍රයෝජනවත්ය. නමුත් මෙහි යම් ගැටලුවක් ද ඇත. එනම් සමහර ගණිතමය වස්තු රූපයකින් නිරූපණය කිරීමේදී එයට නිර්වචනාත්මකව ලැබෙන වියුක්ත ගුණය අහිමි වීමයි. එබැවින් ගණිතයේදී රූපමය දෑ භාවිත කිරීමේදී ඉතා ප්‍රවේශම් වියයුතුය. එලෙස එය නිර්මාණාත්මක ලෙස සහ නිශේධාත්මක ලෙස යන දෙවිදියටම භාවිත කිරීමට හැකියාව ඇත. එබැවින් ගණිතමය සංකල්ප දෘශ්‍ය මාධ්‍ය ඇසුරෙන් නිරූපණය කිරීමේදී ගණිතමය කතිකාව තුළ ඇති නිර්ණායක වලට යටත්ව සිදුකළ යුතුය. එලෙසම රූපමය නිරූපණයන්ගේ ඇති නෛසර්ගික දුර්වලතාවයන්ද මතක තබාගනිමින් එය භාවිත කළ යුතුය.

ඉහත අවස්ථා  වලින් පෙන්වන ලද ගණිතමය සිතීම් වලට පොදු වූ දාර්ශනික පැහැදිලි කිරීමක් තිබේදැයි සොයාබැලීම වැදගත් කාරණයකි. ඒ සඳහා අපට Being and Time කෘතියේ හෛඩෙගර් විසින් අපහට පෙන්වාදෙන පරිදි ඩාසයින්ගේ මූලධාර්මික සාන්දෘෂ්ටියකන් වන අවබෝධය (verstehen (ජර්මන්), understanding), මනෝභාවය (befindlichkeit (ජර්මන්), state-of-mind), කතිකාව (rede (ජර්මන්), discourse) සහ එම චරිත ලක්ෂණ එදිනෙදා ජීවිතයේ පෙන්නුම් කෙරෙන ආකාර වන බොළඳ කතාව (das Gerede (ජර්මන්), idle talk), සැකය (die Neugier (ජර්මන්), curiosity) අවිනිශ්චිතතාව (zweideutigkeit (ජර්මන්), ambiguity) ලෙස හඳුනාගන්නා ලක්ෂණ මූලික ලෙස වැදගත් වේ. 

ගණිතමය කතිකාවෙන් බැහැර වූ කෙනෙක්ට පහසුවෙන් හසුවන්නේ ගණිතය සම්බන්ධයෙන් අප ඉහතින් දක්වන ලද “නිශේධාත්මක සරලකරණය”යි. ඒ හරහා ගණිතමය සංකල්ප විකෘති කරමින් භාවිතයේ ඇති බොහෝ උදාහරණ අපට පෙන්විය හැක. උදාහරණ වශයෙන් ශුන්‍යය සහ අනන්තය යන සංකල්ප ගැන පොදු සමාජයේ ඇති අදහස් පිරික්සා කිරීමෙන් අපට මෙය දැනගත හැක. මෙම න්‍යායාත්මක නොවන අදහස් අපට හෛඩෙගරියානු සදර්භය තුල “බොළඳ කතාව” යටතේ වර්ගීකරණය කළහැක. එලෙසම මෙම න්‍යායාත්මක නොවන දෑ ප්‍රකාශ කරන අයගෙන් අප දිගටම ප්‍රශ්න කරගෙන යාමේදී ඔවුන්ගේ ඇති න්‍යාය පිළිබඳ අක්‍රමවත් දැනුම නිසා ඔවුන් ඇදවැටී සිටින “සැකය” [හෛ.] සහ “අවිනිශ්චිතතාව” [හෛ.] ගැන අදහසක් ලබාගත හැකිය. මෙලෙස අක්‍රමවත් දැනුම ඇත්තවුන් මූලික සිද්ධාන්ත ඉදිරියේ ඍජු පිළිතුරු වලින් වැළකී අතාර්කික, තර්කභාසයන්ගෙන් යුක්ත පිළිතුරු දෙන අවස්ථා අප දැක ඇත. මෙහි තවත් බරපතල ලෙස අහිතකර පැතිකඩක් ඇත. එනම් “බොළඳ කතාව” මගින්  ලබා දෙන අදහස්-අවකාශය විවිධ දේශපාලනික දෘෂ්ටිවාද ප්‍රවර්ධනය කරන, විද්‍යාත්මක කතිකාවේ යම් ආධිපත්‍යයක් හිමි අය විසින් අපයෝජනයට ලක්කිරීමයි. මෙමගින් සමාජයේ විද්‍යාත්මක සහ ගණිතමය සිතීම අපකීර්තියට පත් කිරීමට ද ඔවුනට බලයක් හිමිවෙයි. එබැවින් මූලාශ්‍ර රහිත අසංගත සිද්ධාන්ත සහ ඇකඩමියාව තුළ පරීක්ෂාවට භාජනය නොවන දෑ කරුණුමය ලෙස වලංගු යැයි විචාරයකින් තොරව භාර ගැනීම ඉතාම හානිකර වේ. 

ඉහතින් දැක්වූ පරිදි “නිර්මාණාත්මක අර්ථකතනය” යන්න හෛඩෙගරියානු බසින් කියන්නේ නම් කතිකාව තුළ සිටිමින් ගණිතමය “භාෂාවේ” [හෛ.] අදහස් මතුකර ගනිමින් භාවිතාත්මක අර්ථය මතුකර ගැනීමට අප යම් “අවබෝධයක” [හෛ.] සිටිය යුතුය. මේ සඳහා අප ගණිතමය “කතිකාවක” [හෛ.] සිටිය යුතුය. ඒ සඳහා අප ගණිතමය සිද්ධාන්ත ගැන ඇතිවන බුද්ධිමය සංවාද, පර්යේෂණ ආදිය ගැන සවිඥ්ඥානික සහ යාවත්කාලීන විය යුතුය. ගණිතමය කතිකාව තුල හුවමාරු වන අදහස් ප්‍රකාශයට පත්වන්නේ ගණිතමය “භාෂාවකිනි” [හෛ.]. එම ගණිතමය අදහස් වලින් කියවෙන අර්ථයන් සමූහනය කරන ගණිතමය කතිකාවක සිටිමින් ගණිතමය අවබෝධය පුළුල් කරගනිමින් අප අපගේ ගණිතමය සිතීම සකස්කර ගත යුතුය. 

ගණිතමය කතිකාව තුල සංකල්ප බිහිකිරීමෙහි වැදගත් ක්‍රමවේද දෙකක් මෙහිදී අපට දැක්විය හැකිය. මෙය ගණිතය අපට එදිනෙදා ජීවිතයේ මුණගැසෙන ආකාර නොව ගැඹුරු ගණිතමය සිතීමක් විග්‍රහ කළහැකි ආකාරයන් වේ. එනම් “වියුක්තකරණය” සහ “විස්තීරණය” යි. ගණිතය තුළ සංකල්ප බිහිකරන ඉතාම වැදගත් ක්‍රමවේදයක් වන්නේ මෙම වියුක්තකරණයයි. වියුක්තකරණය සරල ආකාරයකින් පැහැදිලි කිරීම මදක් අපහසු උවත් පහත පරිදි උදාහරණයකින් එය විස්තර කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස “දිග” මැනීම කියන සංකල්පය ගැන සිතන්න. මෙම දිග මැනීම අපට සංඛ්‍යා රේඛාවක් මත කළහැකි ගණිත කර්මයකි. දැන් මේ දිග යන සංකල්පය ගැන කල්පනා කරන විට අපට දිග ගැන පොදු ගුණාංග කිහිපයක් සිතිය හැකිය. දිගට මෙම පොදු ගුණාංග භාවිත කර අපට සරල රේඛාවකට වඩා සංකීර්ණ ගණිතමය ව්‍යුහයන්ගේ “දිග” මැනීමට සංකල්ප බිහි කළ හැක. එවිට අප තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මත දිග භාවිත කරමින් කරන ලද කලනය ආදී ගණිත කර්ම, සංඛ්‍යා රේඛාවට වඩා සංකීර්ණ වියුක්ත අවකාශයන් (abstract spaces) මතද සිදුකළ හැක. “දිග” ලෙස සංකල්ප වියුක්තකරණය කළ අපට “පරිමාවටද” මෙම සංකල්ප විස්තීරණය කළ හැක. විස්තීරණයේදී සිදුවන්නේ දැනටම අප බිහිකළ සංකල්ප තරමක වෙනස්කම් වලට භාජනය කරමින් නව සංකල්ප බිහිකිරීමයි. විස්තීරණයේදී ඉතාම වැදගත් සංකල්පයක් ලෙස අර්ථකථනය [හෛ.] දැක්විය යුතුය. මන්ද තාත්වික සංඛ්‍යා මත කළහැකි ගණිත කර්ම එලෙසම අපරිමිත මාන සහිත වියුක්ත අවකාශයන් වල (infinite dimensional spaces) කළ නොහැකි බැවිනි. ඒ සඳහා අප සංකල්ප වෙනස් ලෙස අර්ථදක්වමින් විස්තීරණය කළයුතු වේ. සමහර අවස්ථාවලදී මෙලෙස විස්තීරණය කිරීමේදී පැරණි සංකල්ප වල ඇති අඩු ලුහුඬුකම්ද විසඳාගත හැකි අවස්ථා ඇතිවේ. මෙලෙස වියුක්තකරණය සහ විස්තීරණය අපට ගණිතමය සිතීමකදී මගහැර යා නොහැකි ප්‍රවේශයන් දෙකකි.

ගණිතමය සංකල්ප ගොඩනැගීමේදී අපහට සමහර දෑ සාධනය කළ නොහැකි අවස්ථා ද විශාල වශයෙන් ඇත. එවැනි සාධනය කළ නොහැකි සමහර ප්‍රතිඵල අප දන්නා බොහෝ අවස්ථාවන් සඳහා සත්‍යවන අවස්ථා අප අත්දැක ඇත. මෙවැනි අවස්ථාවක අප හට සාධාරණ සැකයක් මතු කරමින් යම් ප්‍රතිඵල සත්‍යවේ හෝ නොවේ යයි අනුමානය කළ හැක. මේවා ගණිතමය අනුමාන (conjectures) ලෙස හැඳින්වේ. බොහෝ දෙනා දන්නා උදාහරණයක් ලෙස “ෆර්මාගේ අවසන් ප්‍රමේයය” හැඳින්විය හැකිය. මේක 1995 වසරේදී ඇන්ඩෘ වයිල්ස් විසින් ප්‍රමේයයක් ලෙස සාධනය කරන තාක්ම පැවතියේ “ෆර්මාගේ අවසන් අනුමානය” (Ferma’s last conjecture) ලෙසය. මෙම අනුමානයන් ඉදිරිපත් කිරීම ඉතාම වැදගත් වන්නේ ගණිතමය පර්යේෂණයන් ඉදිරියට යාමට මේවායෙන් ලැබෙන පිටිවහල නිසාය. නමුත් මෙම අනුමානයන් කෙනෙක්ට අවශ්‍ය නම් තමන්ගේ නොදැනුවත්කම නිසාම ඉදිරිපත් කිරීමට ද හැකිය. එබැවින් එලෙස තමන්ගේ නොදැනුවත් කම නිසා ඉදිරිපත් කරන අනුමානයන් අප ගණිතමය කතිකාව [හෛ.] නිවැරදිව ප්‍රකාශ කරන ලද අනුමානයන් ලෙස පිළිගන්නේ නැත. එවැනි නොදැනුවත්කම් නිසා ඉදිරිපත් කරන ලද අනුමානයන් බොහෝ විට අපට න්‍යායාත්මකව වැරදි නොවුවත් යම් බොළඳ කතාවක [හෛ.] ස්වරූපයක් ලෙස හැඳින්විය හැකිය. එබැවින් ගණිතමය කතාවක් තුළ මෙවැනි නිවැරදි ලෙස කරන ලද අනුමානයක් යනු ගණිතමය කතිකාවට කරන ලද ඉතා විශාල උපකාරයකි. එය කවදා හෝ සත්‍ය හෝ අසත්‍ය ලෙස සාධනය විය හැකිය. නමුත් ඒ සඳහා ගණිතඥයන් යොදන වෙහෙස නිසා විශාල ගණිතමය දැනුමක් උත්පාදනය වේ. 

තවදුරටත් හෛඩෙගරියානු පැහැදිලි කිරීම ඔස්සේ යමින් අපගේ ගණිතමය සිතීම අව්‍යාජ එකක් ද ව්‍යාජ එකක් ද යන්න පැහැදිලි කරගැනීම ඉතාම වැදගත් වේ. මේ සඳහා යම් අවස්ථාවක් ගණිතමය විවරණයකට ලක්කිරීමට අවශ්‍ය දැනුම, විභවය අප සතුව තිබේදැයි පිරික්සිය යුතුය. නිතරම අපගේ දැනුම ප්‍රශ්න කළ යුතුය. එම ක්ෂේත්‍රයේ වෙනත් අය සමග සාකච්ඡා කළ යුතුය. කිසිදා අපට සියලු ගණිත සිද්ධාන්ත දැනගත නොහැක. එබැවින් සාකච්ඡාව ඉතා වැදගත් වේ. අප නිතරම ගණිතමය සිතීමකදී කළයුතු වන්නේ ශුද්ධ න්‍යායට අනුව සංසිද්ධි විවරණය කළ හැකිද යන්න බැලීමයි. ඒ සඳහා නිර්මාණාත්මක අර්ථකථන භාවිත කිරීම අපට මගහැර යා නොහැක. ඒවා භාවිත කිරීමට අප පෙළඹිය යුතුය. තවද ගැඹුරු සිද්ධාත්න පිළිබඳ දැනුම ඇත්තවුන් සිද්ධාන්ත බිහිකළ යුතුය, සිද්ධාන්ත නිර්මාණාත්මක අර්ථකථනයට ලක්කළ යුතුය. අව්‍යාජ ගණිතමය සිතීමක් වන්නේ එයයි. මේ අර්ථයෙන් බලන කල අව්‍යාජ ගණිතමය සිතීමක් සඳහා අපගේ ගණිතමය හැකියාවන් සහ නැඹුරුතාවයන් හඳුනාගෙන, න්‍යායන් බිහිකිරීමේ වියහැකියාවක් වෙනුවෙන් අඛණ්ඩ බුද්ධිමය අරගලයක යෙදිය යුතුය.

[හෛ.]: හෛඩෙගරියානු තාක්ෂණික වචන.

බුද්ධික ප්‍රියසාද්